.png)
.svg)
.svg)
Логическими выражениями называют выражения, результат вычисления которых – истина (1) или ложь (0).
Возьмем пример из жизни:
Ване, чтобы поступить в университет, надо сдать хотя бы два предмета не менее чем на 75 баллов.
Формально логическое высказывание, звучит так:
Если обозначить высказывания следующим образом:
то из исходного логического высказывания можно составить логическое выражение: X = (A И B) ИЛИ (B И C) ИЛИ (A И C). Данный переход называется формализацией логического высказывания.
Существуют различные способы представления логических выражений, наиболее распространенными из них являются таблицы истинности и логические схемы. Однако, логическая операция является более элементарным понятием, поэтому представление логического выражения чуть отличается и не полностью совпадает с представлением логической операции.
Таблица истинности для логического выражения обычно похожа на таблицу для логической операции, но зачастую в нее добавляют промежуточные значения в виде столбцов для более наглядных расчетов.
Ниже пример таблицы истинности, которая построена для уже известного логического выражения X = (A И B) ИЛИ (B И C) ИЛИ (A И C) – поступление Вани в университет:
Пример таблицы истинности для логического выражения X = (A И B) ИЛИ (B И C) ИЛИ (A И C)
Были введены дополнительные переменные G, H, I, которые позволяют легче понять результат логического выражения. Таким образом видны все случаи, при которых Ваня может поступить в университет.
Сама структура логической схемы для логического выражения не отличается от структуры схемы для логической операции. Однако, для удобства отмечают промежуточные операции новыми переменными. Например, на схеме ниже добавлены переменные G = (A И B), H = (B И C) и I = (A И C):
Логическая схема с добавленными переменными G, H и I
Равносильными называются такие логические выражения, которые принимают одинаковые значения истинности при любых значениях входных данных. Например, выражение НЕ (A ИЛИ B) и выражение (НЕ А) И (НЕ B) являются равносильными. Равносильность можно доказать с помощью таблиц истинности:
Таблица истинности для равносильных логических выражений
Столбцы, выделенные цветом, показывают, что выражение НЕ (A ИЛИ B) и выражение (НЕ А) И (НЕ B) принимают одинаковые значения на любом наборе входных данных. Таким образом эти выражения являются равносильными.
Формализация играет ключевую роль в логике, позволяя трансформировать конкретные утверждения в абстрактные логические выражения. Центральным инструментом в логическом анализе выступает таблица истинности, которая демонстрирует результаты логического выражения при различных комбинациях входных значений.
Таблицы истинности также служат для выявления равносильности логических выражений. Равносильными считаются выражения, которые дают идентичные результаты при любых входных данных, что позволяет их взаимозаменять в логических построениях.
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)